A Geometria Espacial corresponde a área da matemática que se encarrega de estudar as figuras no espaço, ou seja, aquelas que possuem mais de duas dimensões.

De modo geral, a Geometria Espacial pode ser definida como o estudo da geometria no espaço.

Assim, tal qual a Geometria Plana, ela está pautada nos conceitos basilares e intuitivos que chamamos “conceitos primitivos” os quais possuem origem na Grécia Antiga e na Mesopotâmia (cerca de 1000 anos a.C.).

Pitágoras e Platão associavam o estudo da Geometria Espacial ao estudo da Metafísica e da religião; contudo, foi Euclides a se consagrar com sua obra “Elementos”, onde sintetizou os conhecimentos acerca do tema até os seus dias.

Entretanto, os estudos de Geometria Espacial permaneceram estanques até o fim da Idade Média, quando Leonardo Fibonacci (1170-1240) escreve a “Practica Geometriae”.

Séculos depois, Joannes Kepler (1571-1630) rotula o “Steometria” (stereo: volume/metria: medida) o cálculo de volume, em 1615.

Para saber mais leia:

• Formas Geométricas
• Geometria Plana
• Distância entre dois pontos

Características da Geometria Espacial

A Geometria Espacial estuda os objetos que possuem mais de uma dimensão e ocupam lugar no espaço. Por sua vez, esses objetos são conhecidos como "sólidos geométricos" ou "figuras geométricas espaciais". Conheça melhor alguns deles:

• prisma
• cubo
• paralelepípedo
• pirâmide
• cone
• cilindro
• esfera

Dessa forma, a geometria espacial é capaz de determinar, por meio de cálculos matemáticos, o volume destes mesmos objetos, ou seja, o espaço ocupado por eles.

Contudo, o estudo das estruturas das figuras espaciais e suas inter-relações é determinado por alguns conceitos básicos, a saber:

• Ponto: conceito fundamental a todos os subsequentes, uma vez que todos sejam, em última análise, formados por inúmeros pontos. Por sua vez, os pontos são infinitos e não possuem dimensão mensurável (adimensional). Portanto, sua única propriedade garantida é sua localização.
• Reta: composta por pontos, é infinita nos dois lados e determina a distância mais curta entre dois pontos determinados.
• Linha: possui algumas semelhanças com a reta, pois é igualmente infinita para cada lado, contudo, têm a propriedade de formar curvas e nós sobre si mesma.
• Plano: é outra estrutura infinita que se estende em todas as direções.

Figuras Geométricas Espaciais

Cubo

O cubo é um hexaedro regular composto de 6 faces quadrangulares, 12 arestas e 8 vértices sendo:

Área lateral: 4a2
Área total: 6a2
Volume: a.a.a = a3

Dodecaedro

O Dodecaedro é um poliedro regular composto de 12 faces pentagonais, 30 arestas e 20 vértices sendo:

Área Total: 3√25+10√5a2
Volume: 1/4 (15+7√5) a3

Tetraedro

O Tetraedro é um poliedro regular composto de 4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices sendo:

Área total: 4a2√3/4
Volume: 1/3 Ab.h

Octaedro

O Octaedro é um poliedro regular de 8 faces formada por triângulos equiláteros, 12 arestas e 6 vértices sendo:

Área total: 2a2√3
Volume: 1/3 a3√2

Icosaedro

O Icosaedro é um poliedro convexo composto de 20 faces triangulares, 30 arestas e 12 vértices sendo:

Área total: 5√3a2
Volume: 5/12 (3+√5) a3

Prisma

O Prisma é um poliedro composto de duas faces paralelas que formam a base, que por sua vez, podem ser triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal.

Além das faces o prima é composto de altura, lados, vértices e arestas unidos por paralelogramos. De acordo com sua inclinação, os prismas podem ser retos, aqueles em que a aresta e a base fazem um ângulo de 90º ou os oblíquos compostos de ângulos diferentes de 90º.

Área da Face: a.h
Área Lateral: 6.a.h
Área da base: 3.a3√3/2
Volume: Ab.h

Onde:
Ab: Área da base
h: altura

Veja também o artigo: Volume do Prisma.

Pirâmide

A pirâmide é um poliedro composto por uma base (triangular, pentagonal, quadrada, retangular, paralelogramo), um vértice (vértice da pirâmide) que une todas as faces laterais triangulares.

Sua altura corresponde a distância entre o vértice e sua base. Quanto à sua inclinação podem ser classificadas em retas (ângulo de 90º) ou oblíquas (ângulos diferentes de 90º).

Área total: Al + Ab
Volume: 1/3 Ab.h

Onde:

Al: Área lateral
Ab: Área da base
h: altura

Curiosidades

• A palavra "geometria" vem do grego e corresponde a união dos termos "geo" de terra e "metria" de medida, que significa "medir terra."
• Os cálculos mais comuns em Geometria espacial são para determinar o comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas.
• Outras figuras geométricas espaciais: cilindro, cone, esfera.
• Os "Sólidos Platônicos" são poliedros convexos conhecidos desde a antiguidade clássica. Os cinco "sólidos platônicos" são: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro.

No estudo sobre o cálculo algébrico aprendemos a operar polinômios, fazer a sua fatoração e encontrar o seu mmc. E com essas informações é possível fazer algumas demonstrações como:

• A soma de dois números inteiros consecutivos será sempre a diferença de seus quadrados.

Considere x como sendo um número inteiro qualquer, o seu sucessor pode ser representado pelo polinômio x + 1. Somando esses dois polinômios chegaremos à seguinte expressão algébrica:

x + (x + 1) = x + x + 1 = 2x + 1

A diferença dos quadrados desses dois números consecutivos será representada pela seguinte expressão algébrica:

(x +1)² - x² = (x² + 2x + 1) – x² = x² + 2x + 1 - x² = 2x + 1

Comparado as duas expressões algébricas encontradas, podemos confirmar que

x + (x + 1) = (x +1)² - x²

• A soma de cinco números inteiros consecutivos será sempre múltiplo de 5.

Considere como sendo cinco números inteiros consecutivos os polinômios: x-2 ; x-1 ; x ; x + 1 ; x + 2.
Um número para que seja múltiplo de cinco pode ser escrito da seguinte forma: 5x, onde x é um número inteiro qualquer, ou seja, qualquer número que multiplicado por 5 será múltiplo de cinco.

Somando os cinco números consecutivos teremos:

x - 2 + x - 1 + x + x + 1 + x + 2 = 5x -3 + 3 = 5x, portanto, é verdadeiro dizer que a soma de 5 números inteiros consecutivos terá como resposta um número múltiplo de 5.

• A soma de dois números inteiros ímpares será sempre um número par.

Para que um número seja par é preciso que ele esteja escrito da seguinte forma: 2x, onde x representa um número inteiro qualquer. Dessa forma, um número ímpar seria igual a 2x +1.

Somar dois números ímpares seria o mesmo que:

(2x +1) + (2x + 1) = 2 (2x + 1). A expressão algébrica (2x + 1) terá valor numérico igual a um número inteiro qualquer, quando multiplicado por 2 (2x + 1) irá resultar em um número par.

 

A proporção é definida como a igualdade entre duas razões, caso essa igualdade seja verdadeira, então dizemos que os números que foram as razões na ordem dada são proporcionais.

O estudo das proporções é essencial para o desenvolvimento matemático, pois elas possibilitam-nos relacionar grandezas, assim resolvendo problemas do nosso cotidiano. São exemplos de proporções: escala de um mapa, velocidade média de um móvel, e densidade de uma solução.

O que é razão e proporção?

A razão entre dois números é o quociente entre eles na ordem em que são dados. Sejam a e b dois números racionais, em que b é diferente de 0, a razão entre a e b é dada por:

Quando se tem duas razões e ambas estão sendo comparadas por uma igualdade, então temos uma proporção. Caso a igualdade seja verdadeira, então os números serão proporcionais, caso contrário, então eles não serão proporcionais.

Os números racionais a, b, c e d são proporcionais se, e somente se, a igualdade a seguir for verdadeira.

De maneira equivalente, podemos dizer que a igualdade será verdadeira somente quando a multiplicação cruzada for verdadeira.

Propriedades da proporção

Considere a seguinte proporção entre os números a, b, c e d:

Então as seguintes propriedades são válidas:

Propriedade 1 – O produto dos meios é igual ao produto dos extremos (multiplicação cruzada).

Propriedade 2 – A razão entre a soma (ou diferença) dos dois primeiros termos e o primeiro termo é igual à razão entre a soma (ou diferença) dos dois últimos termos e o terceiro termo.

Leia também: Propriedades da proporção – quais são e como calcular?

Como calcular proporções

Para verificar ou calcular se, de fato, os números são proporcionais, basta aplicar a primeira propriedade, caso a igualdade seja verdadeira, então os números são proporcionais. Veja os exemplos:

Exemplo 1

Verifique se os números 15, 30, 45 e 90 são proporcionais.

Devemos, nessa ordem, montar as razões e, em seguida, realizar a multiplicação cruzada.

 

Observe que a igualdade é verdadeira, assim os números formam, nessa ordem, uma proporção.

Exemplo 2

Sabe-se que os números 2, 4, x e 32 são proporcionais. Determine o valor de x.

Por hipótese, temos que os números, na ordem que foram apresentados, são proporcionais, logo, podemos igualar as razões entre eles e aplicar a propriedade 1, veja:

Grandezas direta e inversamente proporcionais

Grandeza, em matemática, é tudo aquilo que é possível medir ou mensurar, por exemplo, quantidade, distância, massa, volume etc. As grandezas podem ser diretamente proporcionais (GDP) ou inversamente proporcionais (GIP), vejamos a diferença entre elas:

Grandezas diretamente proporcionais

Dizemos que duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais se a razão dos valores da primeira grandeza é igual à dos valores da segunda grandeza, e assim sucessivamente. 

Probabilidade é um ramo da Matemática em que as chances de ocorrência de experimentos são calculadas. É por meio de uma probabilidade, por exemplo, que podemos saber desde a chance de obter cara ou coroa no lançamento de uma moeda até a chance de erro em pesquisas.

Para compreender esse ramo, é extremamente importante conhecer suas definições mais básicas, como a fórmula para o cálculo de probabilidades em espaços amostrais equiprováveis, probabilidade da união de dois eventos, probabilidade do evento complementar etc

Experimento aleatório

É qualquer experiência cujo resultado não seja conhecido. Por exemplo: ao jogar uma moeda e observar a face superior, é impossível saber qual das faces da moeda ficará voltada para cima, exceto no caso em que a moeda seja viciada (modificada para ter um resultado mais frequentemente).

Suponha que uma sacola de supermercado contenha maçãs verdes e vermelhas. Retirar uma maçã de dentro da sacola sem olhar também é um experimento aleatório.

Ponto amostral

Um ponto amostral é qualquer resultado possível em um experimento aleatório. Por exemplo: no lançamento de um dado, o resultado (o número que aparece na face superior) pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Então, cada um desses números é um ponto amostral desse experimento.

Espaço amostral

O espaço amostral é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento aleatório, ou seja, por todos os seus resultados possíveis. Dessa maneira, o resultado de um experimento aleatório, mesmo que não seja previsível, sempre pode ser encontrado dentro do espaço amostral referente a ele.

Como os espaços amostrais são conjuntos de resultados possíveis, utilizamos as representações de conjuntos para esses espaços. Por exemplo: O espaço amostral referente ao experimento “lançamento de um dado” é o conjunto Ω, tal que:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Esse conjunto também pode ser representado pelo diagrama de Venn ou, dependendo do experimento, por alguma lei de formação.

O número de elementos dos espaços amostrais é representado por n(Ω). No caso do exemplo anterior, n(Ω) = 6. Lembre-se de que os elementos de um espaço amostral são pontos amostrais, ou seja, resultados possíveis de um experimento aleatório.

Evento

Os eventos são subconjuntos de um espaço amostral. Um evento pode conter desde zero a todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, ou seja, o evento pode ser um conjunto vazio ou o próprio espaço amostral. No primeiro caso, ele é chamado de evento impossível. No segundo, é chamado de evento certo.

Ainda no experimento aleatório do lançamento de um dado, observe os seguintes eventos:

A = Obter um número par:

A = {2, 4, 6} e n(A) = 3

B = Sair um número primo:

B = {2, 3, 5} e n(B) = 3

C = Sair um número maior ou igual a 5:

C = {5, 6} e n(C)= 2

D = Sair um número natural:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(D) = 6

Espaços equiprováveis

Um espaço amostral é chamado equiprovável quando todos os pontos amostrais dentro dele têm a mesma chance de ocorrer. É o caso de lançamentos de dados ou de moedas não viciados, escolha de bolas numeradas de tamanho e peso idênticos etc.

Um exemplo de espaço amostral que pode ser considerado não equiprovável é o formado pelo seguinte experimento: escolher entre tomar sorvete ou fazer caminhada.

Cálculo de probabilidades

As probabilidades são calculadas dividindo-se o número de resultados favoráveis pelo número de resultados possíveis, ou seja:

P = n(E)
      n(Ω)

Nesse caso, E é um evento que se quer conhecer a probabilidade, e Ω é o espaço amostral que o contém.

Por exemplo, no lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número um?

Nesse exemplo, sair o número um é o evento E. Assim, n(E) = 1. O espaço amostral desse experimento contém seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Logo, n(Ω) = 6. Desse modo:

P = n(E)
      n(Ω)

P = 1
      6

P = 0,1666…

P = 16,6%

Outro exemplo: qual a probabilidade de obtermos um número par no lançamento de um dado?

Os números pares possíveis em um dado são 2, 4 e 6. Logo, n(E) = 3.

P = n(E)
      n(Ω)

P = 3
      6

P = 0,5

P = 50%

Observe que as probabilidades sempre resultarão em um número dentro do intervalo 0 ≤ x ≤ 1. Isso acontece porque E é um subconjunto de Ω. Dessa maneira, E pode conter desde zero até, no máximo, o mesmo número de elementos que Ω.

 

Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo.

A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto ’ e o segundo ”.
Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos).

O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor, podendo ele ser de “meia volta” (180º) ou volta inteira (360º).


Classificação de ângulos

Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas:

Agudo: ângulo com medida menor que 90º.
Reto: ângulo com medida igual a 90º.
Obtuso: ângulo com medida maior que 90º.
Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º.

           agudo                                   reto                               obtuso                                  raso

Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais.



Retas paralelas cortadas por uma transversal




Ângulos correspondentes: a e e, d e h, b e f, c e g               Congruentes
Ângulos colaterais externos: a e h, b e g                                Suplementares
Ângulos colaterais internos: e e d, c e f                                  Suplementares
Ângulos alternos externos: a e g, b e h                                   Congruentes
Ângulos alternos internos: d e f, c e e                                     Congruentes

Polígonos são linhas fechadas formadas apenas por segmentos de reta que não se cruzam. Em outras palavras, são figuras geométricas planas formadas por lados, que, por sua vez, são segmentos de reta.

Para melhor compreensão, são exemplos de polígonos as seguintes figuras:

As figuras a seguir, no entanto, são exemplos de não polígonos:

Na imagem A, a figura não é um polígono porque seus lados não são formados apenas por segmentos de reta. Também não se trata de um polígono a figura da imagem B, pois ela não é fechada. Na imagem C, os segmentos de reta se cruzam, característica que não faz parte dos polígonos.

Polígonos convexos

Um polígono é convexo quando não possui reentrâncias. Em outras palavras, se pudermos construir pelo menos um segmento com as extremidades A e B no interior do polígono e alguma parte desse segmento estiver fora do polígono, então, esse polígono não será convexo.

Observe um polígono não convexo, com os pontos A e B em seu interior e parte do segmento AB em seu exterior:

Sempre que for impossível encontrar parte do segmento AB no exterior do polígono, com os pontos A e B em seu interior, esse polígono será convexo, como o exemplo abaixo:

 

Elementos do polígono convexo

1 – Lados: cada segmento de reta que forma o polígono é um de seus lados.

2 – Vértices: São os pontos de encontro entre os lados de um polígono.